昨日行われました2021年度灘中入試算数二日目の大問2番について早速お話させて頂きます。

 

手こずった生徒が多かったようですが、私が指導する生徒は「知ってるよ」レベルで楽勝で解けたと思います。パスカルの三角形の中にフラクタル図形、特にシェルピンスキーのギャスケットが内在している話は、私も個人的に好きということもあるんですが、必ず灘志望者向けの授業に取り入れています。

 

 

動画でさっさと概要を把握したいという方向けにYoutubeもアップしておきましたので、以下をご覧になってから下を読み進めて頂いてもOKです。

 

※参考 　　シェルピンスキーのギャスケット

 

 

フラクタル図形というのは、「自己相似性」といって、図形全体とその図形の一部分が相似関係にある図形のことをいいます。自然界にもよく見られる特徴です。

 

 

そして、フラクタル図形の中でも特に有名なのが

 

●コッホ曲線(コッホ雪片)

●シェルピンスキーのギャスケット

●メンガーのスポンジ

 

の３つで、コッホ曲線やコッホ雪片に関する問題は過去に色々な学校でよく出題されていました。（そういえば最近はあまり見かけないですね。）

 

※参考 　　コッホ雪片

 

 

そんな中、シェルピンスキーのギャスケットについてはコッホ曲線やコッホ雪片と比べてあまり目立った出題が見られなかったんですが、出題されるとしたら灘だろう、そしてパスカルの三角形がらみで出題されるだろうと、もう随分前から個人的には思っていました。2013年に予想問題として私が作成した問題が以下の問題なのですが、今回の問題と論点は全く同じで、問われているレベルと解きやすさで言えば、今回の灘の問題の方が簡単に答えに辿り着けるように設計されていました。

 

↓↓↓私が作成した問題

 

↓↓↓2021灘中入試算数二日目 大問2番

 

さて、では、この灘の問題とシェルピンスキーのギャスケットが一体どういう繋がりがあるんだと疑問に思ってらっしゃる方が多いと思います。

 

順に説明していきましょう。

 

まず、パスカルの三角形というものをご存知でしょうか。これはさすがに有名過ぎて、過去の灘の問題でもよく出題されていますし、二項定理を学ぶときに数学の教科書にものっていたりするので、一度は耳にしたことがある方が多いのではないでしょうか。以下のようなものです。

 

※参考 　パスカルの三角形

 

中学受験生は全員、場合の数の問題演習で道順の行き方を1をたくさん書き込んで何通りか求めた経験があると思いますが、あれです(笑)

 

※参考 　道順とイチイチ解法とパスカルの三角形

 

 

そして、この表に書き込まれた数のうち、

奇数だけに色をぬっていきましょう。

以下の図のように、です。

 

そして、色がぬられた箇所を

3個ずつ三角形で順に囲っていくと…

 

さらに

オレンジの三角形を3個ずつ囲っていくと…

 

いかがでしょうか。

なんと…

冒頭の参考図にあります、

シャルピンスキーのギャスケット

が浮き彫りになってきました。

 

 

これを今年の灘の問題の表においても、上と同じように奇数に色をぬっていくと、同様にシェルピンスキーのギャスケットが浮き彫りになるのです。

 

やってみましょう。

まず、奇数に色をぬっていき…

次に、3個ずつ三角形で順に囲っていき…

さらにオレンジの三角形を3個ずつ順に囲っていくと…

やはり、当然ですがシェルピンスキーのギャスケットが浮き彫りになりましたね。

 

さらに青い三角形3個ずつ赤い三角形で囲っていくと

となります。

ですから、これで（１）～（３）まであっという間に答えを求めることができるのを理解して頂けたのではないでしょうか。

 

 

（１）は８×８マスの正方形の中に偶数が何個あるかですが、

奇数が

３×３×３　個ありますよね？

ですから偶数は、８×８－３×３×３＝37（個）ということになるわけです。

 

（２）は１６×１６マスで同じことを聞いてくれているわけですから、

奇数が

３×３×３×３　個あることが分かりますよね？

ですから偶数は、１６×１６－３×３×３×３＝175（個）となります。

 

 

（３）でも親切なことに３２×３２マスで同じことを聞いてくれているわけですから

偶数は、３２×３２－３×３×３×３×３＝781（個）となります。

 

 

いかがだったでしょうか。

私の生徒は、例えば以下のような問題でシェルピンスキーのギャスケットについて演習していました。2006年の西大和で出題された問題です。

 

これは実は、その昔算数オリンピックで出題された問題のリメイクでもあります。1996年のトライアルで出題された問題なのですが、以下のようなものです。

 

193人の人が横一列に並んで座っています。まず、真ん中の1人が立ち上がりました。そこからは次のルールでみんな立ったりすわったりします。

①　となりの人が立ち上がってから、1秒後に、自分も立ち上がります。

②　立ち上がったら、1秒後にすわります。

③　ただし、両どなりの人が同時に立ち上がった場合は、1秒たっても自分はすわったままでいます。

（１）　最初の1人が立ち上がってから8秒後に、何人が立ち上がりますか。

（２）　96秒後には何人が立ち上がりますか。

 

時間のある方はぜひ一度解いてみてください(^^)

 

 

今回は2021灘中入試二日目２番について、パスカルの三角形とフラクタル図形、シェルピンスキーのギャスケットに関する若干高度で深いお話をさせて頂きました。

算数科講師の方もぜひ指導の参考にして頂ければと思います。

 

 

関西では、今日はこれから東大寺や洛南の入試が行われます。

第一志望の人もいるかと思います。頑張ってください！

 

 

make sense！

■■算数ソムリエ■■