ずっとモヤモヤと頭の中にあるものを、吐き出してみる。
数学には、作図問題というものがある。
ここでいう作図は、
目盛りの付いていない直線しか引けない定規と、
円を描いたり、交点と交点の長さを保持することしか出来ないコンパスを、
有限回用いての作図。
という条件が付いている。
以降、単に作図とするものは、これを踏襲する。
[0]
有名な作図問題として、
i) 任意の角の三等分線は、作図はできない。
ii) 任意の長さの線分のn等分（nは自然数）は、作図は出来る。
[1]
i)においては、すべての角の三等分線が作図は出来ないわけではなくて、特定の角においては作図で三等分出来てしまうものがある。
[2]
そこで、作図出来る角と作図出来ない角を2つに分類する。
集合A) 角の三等分が出来る角
集合B) 角の三等分が出来ない角
[3]
集合Bにある、任意の角度θを、折り紙の公理やネウシス作図などを使って角の三等分は出来、当然θ/3という値は存在している。
角度θの頂点をOとし、Oを頂点とする半直線となる三等分線をx軸から時計回りにp, q, r, sとする。
[4]
半直線p, q, r, sを横切るような、ある直線Lを考え、それぞれの半直線との交点をP, Q, R, Sとし、PQ＝a, QR＝b, RS=cとしたとき、a, b, cが整数比となる直線Lは存在するのだろうか？
[5-1] 存在していて、必ず作図出来る。
[5-2] 存在はするが、作図出来るものと作図出来ないものがある。
[5-3] 存在はするが、作図出来ない。
[5-4] 存在しない。
こんなことを考えている。
例えば、
O=(0, 0)
P＝(3√7, 0)
S＝(3√7, 15)
∠SOP＝θ
このθの角の三等分線を作図出来るか？
という問題があったとしよう。
このθは集合AとBのどちらに入るのだろうか？
さて、i)やii)は証明済みである。
P＝(w, 0)
Q＝(w, 3)
R＝(w, 7)
S＝(w, 15)
つまり、
PQ＝a＝3
QR＝b＝4
RS＝c＝8
a：b：c＝3：4：8
という整数比で表されている線分L（青線）がある。
頂点Oを復元出来るのかとなる。
三角形OPRをイメージして、角の二等分により、
QＰ：QR＝3：4＝OP：OR
OP＝3xとおくと、OR＝4xであり、PR＝7であり、仮に∠OPR＝90˚だったならば、
(3x)2＋72＝(4x)2
9x2＋49＝16x2
7x2＝49
x2＝7
x＞0より
x＝√7
OP＝3√7
OR＝4√7
といったように点Oは作図による復元が可能となる。
こんなことをChatGPTとやり取りして、すこしずつまとまってきたところである。
ではでは