図形問題を出題するよ。
等脚台形ABCDがあり、AD//BC、AD＜BC、AB＝DC＝7、
∠ABC＝∠DCB＝60˚、
AB上の点Pは、AP=4、BP＝3、∠DPC＝60˚のとき、
三角形DPCの面積を求めよ。
高校生以上を想定しています。
シンキングタ～イム
なんか画期的な方法を思い浮かばないので、
ゴリゴリと3つの余弦定理で連立方程式を解くことにする。
AD=xとおくと、BC＝x＋7、PD＝y、PC＝z、
とでもしましょうかね。
cos(60˚)＝1/2、cos(120˚)＝－1/2
余弦定理より、
y2＝42＋x2＋4x＝x2＋4x＋16
z2＝32＋(x＋7)2－3・(x＋7)＝x2＋11x＋37
72＝y2＋z2－yz＝(x2＋4x＋16)＋(x2＋11x＋37)－√(x2＋4x＋16)(x2＋11x＋37)
49＝2x2＋15x＋53－√x4＋15x3＋97x2＋324x＋592
√x4＋15x3＋97x2＋324x＋592＝2x2＋15x＋4
両辺を2乗して、
x4＋15x3＋97x2＋324x＋592＝4x4＋60x3＋241x2＋120x＋16
3x4＋45x3＋144x2－204x－576＝0
x4＋15x3＋48x2－68x－192＝0
(x－2)(x＋6)(x2＋11x＋16)＝0
x＞0より、
x＝2
y＝√28
z＝√63
三角形DPCの3辺の長さが解るからヘロンの公式でも良いし、
DからPCへ垂線の足を下ろして底辺×高さ÷2でも良いが、
今回は二辺夾角で面積Sを求めてみる。
S＝y・z・sin(60˚)/2
＝√28・63・3/4
＝√(22・7)・(32・7)・3/4
＝√22・32・72・3/4
＝21√3/2
答え 21√3/2
ではでは