教員採用試験に出たらしい問題。
方眼紙に、
直線しか引けない定規と、
円弧しか描けないコンパスを使って、
√7を作図せよ。
シンキングタ～イム
三平方の定理を使うのだが、
解法はいくつかあるので、
ちょっと本気になって探してみることにする。
a2＋b2=c2
これが三平方の定理だが、√7をa、b、cのいずれかに当てはめても良いわけだ。
まずは足し算だけを考えて、c＝√7としてみる。
√12＋√62＝√72
√22＋√52＝√72
√32＋√42＝√72
といったように、aとbは可換なので、この3通りだけである。
実際に作図出来るかを考えてみると、
必ずしも、この通りである必要はないのですが、
出来うる限り簡単なものにしてみました。
コンパスの操作を青いパイスライスで描いてみたので、
中心と半径をどのように取っているか理解出来るだろう。
続いて、引き算を考えてみると、
√82－√12＝√72
√92－√22＝√72
√102－√32＝√72
√112－√42＝√72
√122－√52＝√72
…
といったように、無限に可能性を考えられてしまうが、
実は引く数はすべてを利用出来るわけではなく、
引く数の2乗を取り除いた値、
つまり引く数の値を正方形の面積とする1辺の長さに使えるのは、
両端が共に方眼の交点である必要が出てきてしまうということに、
気がつけるかということでもある。
ちょっと難しいかな？
まぁ、これくらいで、とりあえずは良いだろう。
√82－√12＝√72
√92－√22＝√72
√112－√42＝√72
√122－√52＝√72
√152－√82＝√72
√162－√92＝√72
…
なんで、ここで留めたかというと、
これが、作問者が考えたであろう模範解答かなと思ったからです。
上記の例のなかで、一番単純で簡単かなと思う。
さて、三平方の定理を拡張した余弦定理
c2＝a2＋b2－2ab・cos(C)
で、直角ではなくて、∠Cが60˚とか120˚ならば、
cos(60˚)＝1/2
cos(120˚)＝－1/2
であるから、
c2＝a2＋b2－ab
c2＝a2＋b2＋ab
となって、可能性があるのかを考えてはみた。
7：5：3のアイゼンシュタイン三角形を描いて、
2辺から外心を求めて、
外接円を描くと、辺5の底辺とする二等辺三角形が出来て、
その2斜辺が、√7となる。
とても、面倒だったが出来なくはなかった。
因みに、皆さんは、どれを思いつきましたか？
作図方法は一意ではないので、
もっと簡単に作図出来る可能性があるものも、
見つかるかも知れません。
上記以外の値を使った例などがございましたら、
コメント頂けると幸いです。
ではでは