図形問題を出題するよ。
図のように、赤い正三角形が3つ、青い正方形が4つが設置しており、
正方形の面積が示されている。
残りの正方形の面積Xを求めよ。
高校生以上を想定しています。
もしかしたら中学生でも解けるのかな？
シンキングタ～イム
案外、どこから手を付けていいか解らない人もいるのではなかろうか。
図のように、60˚の角が見えて、各正三角形の辺の長さを変数にすると、
余弦定理で解けることが解るだろう。
1とaと面積2の正方形に着目すると、余弦定理より、
2＝12＋a2－2・1・a・cos(60˚)
のように立式できて、cos(60˚)＝1/2より、
2＝12＋a2－a
a2－a－1＝0
a＞0より、
a＝(1＋√5)/2
a2＝a＋1＝(3＋√5)/2
同様に、aとbと面積4の正方形に着目すると、
4＝a2＋b2－2・a・b・cos(60˚)
4＝a2＋b2－ab
b2－ab＋a2－4＝0
b＞0より、
b＝(a＋√a2－4・(a2－4))/2＝(a＋√16－3a2)/2
X＝b2＝(16－2a2＋2a√16－3a2)/4
＝(16－(3＋√5)＋(1＋√5)√16－(9＋3√5)/2)/4
＝(13－√5＋(1＋√5)√(23－3√5)/2)/4
＝(13－√5＋√(1＋√5)2(23－3√5)/2)/4
＝(13－√5＋√(6＋2√5)(23－3√5)/2)/4
＝(13－√5＋√(108＋28√5)/2)/4
＝(13＋√5＋√54＋14√5)/4
＝(13＋√5＋7－√5))/4
＝20/4
＝5
答え 5
ではでは