Q:「お申し出ください」「お申し込みください」についての質問です。
「申す」は本来自分側に使う敬語ですが、相手に使ってもいいのでしょうか。

「申す」は謙譲語Ⅱ（丁重語）。本来、高める必要のない自分側について使う言葉です。
しかし、質問のように「お申し出ください」「お申し込みください」では、確かに相手の動作について使っています。
これは、この表現での「申し」にはすでに謙譲語Ⅱとしての働きが失われてしまっているのです。
「謙譲語性が失われている」この表現では、相手側の行為に使ってもさしつかえありません。

★この傾向は、「ご参加ください」も同様。「まいる」の謙譲語性が失われている用法です。

★「申し〜」がつくその他の言葉も全て同様かというと、そうではありません。
別記事に詳しく書いているので、ご覧ください。
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『申し伝える・申しつける・申し込む〜「申す」を含む語の謙譲語性と改まり感』Q:「申し〜」がつくその他の言葉も全て謙譲語性が失われていますか？前記事で、「お申し出ください」「お申し込みください」では、「申す」の謙譲語としての意味が失…

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前田めぐるリンクまとめ lit.link(リットリンク)文章術講師・コピーライター、年コピーライターとして生活者と企業のコミュニケーションにおける言葉を発想し続ける。近年は自治体・学校・団体向けのSNS活用・文章術講師として活動。危機管理士としても、言葉のリスクコミュニケーションについて伝える。敬語マニアでもあり、敬語の違和感についてまとめたブログ『ほどよい敬語』が好評。（公社）日本広報協会広報アドバイザー。京…

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「お申し出ください」「お申し込みください」で「申す」を相手に使ってもいい理由